L'Hotel di Hilbert

Il famoso matematico David Hilbert, nelle sue conferenze a carattere divulgativo, raccontava spesso la storia di un albergo con infinite stanze: Questo mitico albergo, che chiameremo Hotel di Hilbert, ha omega camere: Camera 0, Camera 1, Camera 2, …., Camera n, e così via. Come nel paragrafo precedente inizieremo a contare da 0. Per fissare le idee, ho disegnato l’ Hotel di Hilbert nella figura 2.13. Per farlo stare su una pagina, ho supposto che ogni piano fosse dotato di un fantascientifico condensatore di spazio, uno strumento che fa si che ogni piano sia alto due terzi del precedente. Anche gli ospiti subiscono la stessa contrazione e quindi, sebbene i soffitti del terzo piano siano alti solo due o tre piedi, il condensatore di spazio rende gli ospiti alti uno o due piedi in modo che si trovino a loro agio. Lascio al lettore come esercizio di dimostrare che, se il premo piano ha soffitti di dieci piedi e ogni piano è alto i due terzi del precedente, allora l’albergo di piani è alto 30 piedi.

Una delle caratteristiche più sconcertanti dell’Hotel di Hilbert è che, anche quando è al completo, è sempre possibile trovare posto per nuovi ospiti senza che nessuno debba condividere la sua stanza con un altro! Supponiamo , per esempio, che siano arrivati ospiti e che ogni camera sia occupata collocando l’ospite n alla Camera n. Supponiamo che a questo punto arrivi un nuovo ospite: l’Ospite . Dove potrà alloggiare?

E' facile! basta mettere l'Ospite nella Camera 0, L'Ospite 0 nella Camera 1, l'Ospite 1nella Camera 2, e così via. Benissimo! Ma se fossero arrivati infiniti ospiti? Anche una schiera di  + ospiti può provare posto nell'Hotel di Hilbert. Basta mettere i primi ospiti nelle camere pari e i secondi ospiti nelle camere dispari. Di fatto l'Hotel di Hilbert ha la possibilità di assorbire ² ospiti......

Rudy Rucker – La mente e l’infinito – Editore Muzzio, pag.  85, 86