La Nascita dei Mostri Matematici e della Curva di Koch

Nel 1904, il matematico svedese Helge van Koch creò una curva che cambiava così tante volte direzione che un viaggiatore che si fosse improvvisamente trovato in un suo punto non avrebbe saputo in quale direzione muoversi. La curva di Koch, o a fiocco di neve, inizia come perimetro di un triangolo equilatero. Inserendo al centro di ciascun lato un nuovo triangolo equilatero di lato pari ad 1/3 del lato di quello precedente, la figura diventa così una stella a sei punte. Il perimetro della stella è costituito da 12 segmenti e ha una lunghezza pari a 4/3 rispetto a quella del triangolo di partenza. Il passo successivo consiste nell'aggiungere altri 12 triangoli più piccoli nel centro del lato di ogni stella. Continuando il processo mediante l'inserimento di triangoli sempre più piccoli, si ottiene il fiocco di neve di Koch. Tra due punti qualsiasi della curva c'è un numero infinito di zig-zag ed è inoltre infinita la distanza tra due suoi punti qualsiasi, anche se la curva circoscrive un'area finita non molto più grande di quella del triangolo di partenza. Si suppone che, al primo stadio della sua costruzione, la curva a fiocco di neve abbia lato 1 centimetro. Con una risoluzione di 1 centimetro, la curva appare come un triangolo composto da 3 segmenti di retta; le pieghe più piccole non sono visibili. Se la risoluzione passa ad 1/3 di centimetro, i segmenti sono 12, ciascuno lungo 1/3 di centimetro. Ogni volta che l'unità di misura viene ridotta a 1/3, il numero di segmenti visibili aumenta di 4 volte. Un comportamento così strano ha portato i matematici di inizio Novecento a definire questa ed altre curve come mostruosità matematiche.