ITIS e Liceo S. T. “E. Molinari “ – Milano- a.s. 2010-11

Triennio informatica

PERCORSO FORMATIVO DI MATEMATICA

CLASSE QUINTA

Obiettivi disciplinari generali

FINALITÀ

· Saper utilizzare nel contesto (e altrove) le conoscenze, gli strumenti e i metodi della matematica

· Utilizzare il metodo scientifico nella risoluzione di problemi (analisi, sintesi, valutazione)

· Abituare gradualmente gli allievi ad un processo ipotetico deduttivo, concentrando l’attenzione sulla struttura del ragionamento e nel fatto che gli schemi deduttivi si ritrovano applicati ad oggetti diversi nelle differenti branche della matematica (sviluppo delle capacità logiche)

OBIETTIVI FORMATIVI

· Saper ascoltare, riflettere, formulare domande e/o proposte durante la lezione

· Saper prendere appunti ed utilizzarli nello studio

· Saper utilizzare il libro di testo per ritrovare e integrare la spiegazione, successivamente per uno studio autonomo. Saper confrontare testi diversi.

OBIETTIVI DIDATTICI

· Saper utilizzare il linguaggio specifico

· Conoscere e comprendere il significato delle nuove funzioni, operazioni e procedimenti nei calcoli

· Conoscere le proprietà di nuove funzioni ed operazioni e saperle utilizzare

· Conoscere e saper applicare i teoremi dell’analisi e della probabilità

· Saper rappresentare graficamente funzioni note e qualsiasi

· Saper comprendere le informazioni da grafici cartesiani e qualsiasi

· Saper valutare i risultati ottenuti

· Saper utilizzare la calcolatrice tascabile

· Conoscere le principali funzioni dei software utilizzati in laboratorio

Risorse

· Libro di testo

· Fotocopie fornite dall’insegnante

· Laboratorio di matematica dotato di personal computer

§ Software: Derive, Excel

§ Un linguaggio di programmazione conosciuto dagli studenti

Tempi del percorso formativo

Ore previste: 4 ore settimanali (di cui 2 di lab.), per un totale di 132 ore annuali (33 settimane)

Moduli

1. CALCOLO INTEGRALE

2. SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI

3. FUNZIONI IN DUE VARIABILI

4. MODELLI DIFFERENZIALI

5. ANALISI NUMERICA

MODULO 1 : CALCOLO INTEGRALE

CONTENUTI	OBIETTIVI DIDATTICI
Integrale improprio Integrale improprio di prima, seconda, terza specie Convergenza di un integrale Convergenza assoluta di un integrale Integrale improprio convergente Criteri del confronto e del confronto asintotico	Definire integrali impropri e distinguerli in diversi tipi a seconda che ci si riferisca a funzioni illimitate o a intervalli di integrazione illimitati Definire e interpretare graficamente la caratteristica di convergenza di un integrale improprio Distinguere tra convergenza e convergenza assoluta Stabilire criteri di convergenza per integrali impropri Calcolare integrali impropri convergenti

MODULO 2 : SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI

CONTENUTI

OBIETTIVI DIDATTICI

Le serie numeriche: definizioni La serie di Mengoli La serie geometrica Le proprietà delle serie La convergenza di una serie Le serie a termini positivi Le serie a termini di segno alterno La convergenza assoluta Le successioni e le serie di funzioni Il dominio di convergenza La convergenza uniforme Le serie di potenze ed il raggio di convergenza Gli sviluppi in serie di potenze di una funzione Teoremi di derivazione e di integrazione per serie Sviluppi in serie di Taylor e Mac Laurin Applicazione delle serie al calcolo dei limiti e degli integrali

Saper determinare il carattere di una serie di cui è nota la somma dei primi n termini Saper determinare il carattere di una serie geometrica e saper determinare la somma se la serie converge Saper stabilire quando una serie non è convergente Dimostrare la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza Saper stabilire se una serie a termini positivi è convergente usando il primo o il secondo criterio del confronto Saper riconoscere se una serie a termini positivi è convergente usando il criterio del rapporto Saper riconoscere se una serie a termini positivi è convergente usando il criterio della radice Saper riconoscere se una serie a termini di segno alterno è convergente usando il criterio di Leibniz Saper riconoscere se una serie a termini di segno qualsiasi è convergente usando il criterio della convergenza assoluta Saper determinare il dominio di convergenza di una serie di funzioni Saper calcolare il dominio di convergenza di una serie di funzioni Saper determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze Saper sviluppare in serie di Taylor e di Mac Laurin alcune funzioni fondamentali

MODULO 3 : FUNZIONI IN DUE VARIABILI

CONTENUTI

OBIETTIVI DIDATTICI

Le disequazioni lineari e non lineari in due variabili I sistemi di disequazioni in due variabili La ricerca del dominio di una funzione in due variabili Le linee sezione e le linee di livello Le derivate parziali Il piano tangente ad una superficie Le derivate successive e il teorema di Schwarz Il differenziale di una funzione I punti di massimo e di minimo con il metodo delle linee di livello I punti di massimo e di minimo e sella con il metodo delle derivate, l’Hessiano

Risolvere disequazioni lineari e non lineari in due variabili Rappresentare le linee di livello di una superficie data Rappresentare una funzione lineare in due variabili (esempi:piano, paraboloide circolare, paraboloide ellittico, paraboloide iperbolico) Individuare la regione piana formata dalle soluzioni di un insieme di disequazioni in due incognite Individuare il dominio di una funzione in due variabili Definire massimi, minimi(relativi e assoluti) di una funzione in due variabili Definire le derivate parziali Definire il piano tangente ad una superficie in un punto e scrivere la sua equazione Individuare i punti stazionari di una funzione in due variabili e caratterizzarli attraverso il determinante hessiano Rappresentare in casi semplici una funzione in due variabili ,utilizzando un prodotto software Definire il differenziale totale di una funzione in due variabili

MODULO 4 : MODELLI DIFFERENZIALI

CONTENUTI

OBIETTIVI DIDATTICI

Modelli di problemi differenziali Generalità sulle equazioni differenziali Teorema di Cauchy Equazioni differenziali del primo ordine: a variabili separabili, lineari omogenee e non Equazioni differenziali del secondo ordine : lineari omogenee e non omogenee a coefficienti costanti Determinazione dell’integrale particolare che verifica date condizioni iniziali Integrale singolare e curve inviluppo

Descrivere le caratteristiche di un modello differenziale (decadimento radioattivo, moto di una pallina all’estremo di una molla) Verificare la soluzione di una equazione differenziale Enunciare il teorema di Cauchy Risolvere equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili Rappresentare una famiglia di curve integrali Risolvere equazioni differenziali del primo ordine lineari non omogenee Costruire la soluzione generale di una equazione differenziale omogenea a partire da due soluzioni linearmente indipendenti Distinguere i diversi casi di una equazione differenziale del secondo ordine, lineare omogenea, sulla base della sua equazione caratteristica Risolvere un’equazione differenziale del secondo ordine, lineare omogenea

MODULO 5: ANALISI NUMERICA

CONTENUTI

OBIETTIVI DIDATTICI

Integrazione numerica : metodo dei rettangoli, dei trapezi, delle parabole Metodi numerici per la soluzione di equazioni differenziali: i metodi di Eulero, Heun, Runge-Kutta

Costruire metodi di approssimazione per il calcolo di un integrale definito Utilizzare per la costruzione di un algoritmo di integrazione numerica uno dei seguenti metodi: metodo dei rettangoli, metodo dei trapezi, metodo delle parabole Valutare l’errore analitico commesso Stimare la variazione dell’errore al crescere del numero di iterazioni Utilizzare uno dei principali metodi numerici per la risoluzione di una equazione differenziale di tipo semplice Stimare l’errore nelle soluzioni di un’equazione differenziale ottenute con un procedimento numerico

LABORATORIO

Si svolgeranno in laboratorio temi di analisi matematica e analisi numerica (integrazione numerica, risoluzione approssimata di equazioni differenziali del primo ordine), assegnando, dopo una parte di spiegazione teorica frontale, la risoluzione di un problema da realizzare utilizzando i pacchetti software Derive ed Excel oppure utilizzando un linguaggio di programmazione

Modalità del lavoro in classe

· Lezione partecipata per costruire un percorso di apprendimento legato alle conoscenze già possedute dalla classe, in modo che le nuove nozioni si integrino con conoscenze precedenti, le consolidino e da queste si sviluppino

· Lezione frontale quando si tratti di definizioni, concetti o tecniche nuovi

· Discussione guidata per apprendere la strategia di risoluzione di esercizi e problemi, per confrontare diverse strategie tra loro, per valutare i risultati ottenuti

· Sperimentazione guidata per stimolare l’osservazione, riconoscere correlazioni ed individuare l’esistenza di nuove proprietà

· Attività di gruppo i laboratorio con il supporto dell’Insegnante Tecnico Pratico

Modalità di verifica e valutazione

La comprensione e la capacità di applicazione degli argomenti trattati saranno valutate con:

· Verifiche scritte (almeno 3 a quadrimestre): i moduli affrontati saranno oggetto di verifiche scritte formulate, a seconda dell’argomento, con esercizi e/o richieste graduate per verificare la conoscenza e l’applicazione delle singole abilità, oppure con problemi complessivi in modo da poter verificare la capacità di correlare le conoscenze acquisite.

· Interrogazioni

· Test/questionari a risposta chiusa e/o aperta che potranno costituire valutazione sia per lo scritto sia per l’orale

· Correzione individuale di esercitazioni scritte assegnate a casa o in classe (sia su richieste teoriche sia su applicazioni)

· Verifiche pratiche nel laboratorio di informatica

La valutazione di tali verifiche è basata ovviamente sul conseguimento degli obiettivi didattici esposti precedentemente, ma la valutazione complessiva tiene anche conto di altri elementi quali: partecipazione ed interventi appropriati durante le lezioni, costanza dell’impegno e del lavoro a casa, puntualità nelle consegne.

Recupero

Il recupero avviene costantemente per le caratteristiche della materia che si sviluppa a spirale, riprendendo concetti e procedimenti noti, in contesti diversi.

La metodologia del lavoro svolto in classe, con una prevalenza della lezione partecipata rispetto alla lezione frontale, permette un recupero in itinere.

Per il recupero delle capacità di calcolo e logiche è importante la correzione fatta in classe sia delle verifiche sia degli esercizi assegnati per casa.

Compatibilmente con le attività di recupero pomeridiane programmate all’interno del C.d.C., qualora la classe presenti gravi e diffuse insufficienze nella materia si potrà organizzare un ciclo di lezioni pomeridiane di recupero (10 ore).